Rozkład normalny – zadania

Mamy rozkład Xsim N(100,15) – tzn. zmienna X ma rozkład normalny ze średnią  mu =100 i odchyleniem standardowym sigma = 15.
( Uwaga, niekiedy ta druga liczba w nawiasach może  być wariancją = sigma^2 ) Rozkład ten dotyczy współczynnika inteligencji IQ. A pytanie jest takie:
a) Jaki procent tej populacji ma IQ > 120?
Standaryzujemy zmienną X=120, zgodnie ze wzorem

    \[Z=frac{X-mu}{sigma} = frac{120-100}{15} = 1,33\]

Co oznacza że zmienna X=120 jest przesunięta o 1.33 odchylenia standardowego od średniej.
Z tablic odczytujemy obszar dla z = 1,33 czyli wartość pola pod krzywą od  z = 1,33 do z=0 – tutaj zielone pole. W tablicach  tzw. obszar dla danego z to pole pod krzywą od tego z do zera .  Wynosi ono (dla z=1,33) 0,4082 lub 40,82%. (Całe pole pod krzywą ma wartość = 1). Taki procent populacji ma IQ pomiędzy 100 a 120, lub inaczej pomiędzy z=0 i z=1,33. W zadaniu jest pytanie o procent populacji z IQ>120. Będzie to żółte pole z prawej połówki wykresu czyli  połowa całego pola pod wykresem pomniejszona o obszar dla z=1,33:

    \[P(X>120) = P(z>1,33) = 0,5-0,4082 = 0,0918 simeq  0,092  = 9,2%\]


P to część pola pod wykresem, lub prawdopodobieństwo.

Odp: 9,2% populacji Xsim N(100,15) ma IQ wyższe niż 120 :)

b) W jakim przedziale mieści się środkowe 50% populacji?
Z tablic odczytujemy, że obszar = 0,25 (dokładnie 0,2486) przypada dla z simeq 0,67 – (obszar zielony na poniższym wykresie).

Skoro

    \[Z=frac{X-mu}{sigma}\]

   to
X=Zcdot{sigma}+{mu} = 0,67cdot15 + 100=10,05+100 simeq 110

Analogicznie dla z=-0,67 otrzymamy X=90 i możemy odpowiedzieć że środkowe 50 % populacji ma IQ zawierające się pomiędzy 90 i 120.
c) Jaka część ludzi z tej populacji ma współczynnik inteligencji pomiędzy 75 a 125?
Ze wzoru Z = frac{X-mu}{sigma} obliczamy zmienne standaryzowane Z_{125}  i Z_{75} dla X = 75 i X = 125 i otrzymujemy Z_{75}=-1,666 i Z_{125}=1,666 Odpowiedź na pytanie to wielkość obszaru pod krzywą od Z = -1,66  do Z =+1,66 czyli  2 cdot P(1.66)

Obszar P(1,66) odczytany z tablic wynosi 0,4515, a więc całe pole pod wykresem wynosi 0,4515 cdot 2 = 0,9030simeq 90% – współczynnik inteligencji pomiędzy 75 a 125 ma 90% tej populacji.

Zad. 2
Prowadzacy zajęcia postanowił, że 25 % studentów nie zda egzaminu. Ocen z egzaminów mają w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 6. Jaką ocenę musi uzyskać student aby zdać egzamin?

Mamy d o czynienia z populacją Xsim N(72,6).  Zdadzą studenci z wynikami z > -0.67 (wykorzystaliśmy wyniki z poprzedniego zadania pkt. b).  Dla z = -0,67 mamy

Z=frac{X-mu}{sigma} po podstawieniu: -0,67=frac{X-72}{6} po przekształceniu:

X=-0,67 cdot 6 + 72 =67,98 simeq 68%. A więc aby zdać należy mieć wynik wyższy niż 68 punktów.